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備忘録-ヒルベルト行列の逆行列の全成分は整数

math

年末年始いつもと変わらず過ごした。
今日は、数学ネタで久しぶりに興奮した。興奮が冷めないうちにメモ。

だいぶ前、ヒルベルト行列の逆行列数値計算するプログラムを書いた。そして、それらヒルベルト行列の逆行列の成分が、いずれも整数であることを観察していた。今日ようやく私は、「ヒルベルト行列の逆行列の成分は全て整数である」という命題を証明しようとした。ところが、1日使っても証明できない。

耐え切れず、インターネットで検索した。
Hilbert matrix - Wikipedia
wikipediaを調べると、この命題は真であることが知られていて、証明もされているらしい。



mathoverflow.net
さらに、これによると、ヒルベルト行列だけでなく、特定のクラスのハンケル行列についても同様の命題が成り立つとのこと "Fibonacci numbers and orthogonal polynomials" C. Berg。

ルジャンドル多項式が、こんな所に出てくるとは思わなかったし、「この代数的な構造は一体なんなんだ!?」という衝撃を受けた。勉強する途中で、計算以外にも、こういった代数的な構造に出会えるのは幸せでしかない。