フィルベルト行列の逆行列を計算してみた
「(全てのサイズの)フィルベルト行列の逆行列は、どの成分も整数である。」
という定理がある。 Richardson "The Filbert Matrix" 1999https://arxiv.org/abs/math/9905079
これは、ヒルベルト行列 Choi "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix" 1983のときと全く同じ性質。
(私はこれら2つの文献を、Berg "Fibonacci numbers and orthogonal polynomials" 2010? から知った。)
私は試しに、フィルベルト行列の逆行列を数値計算してみた。この逆行列計算の方法には、以前と同様、Schemeの正確数を利用した。Cf.桁数が爆発的に増える数値計算実験(GaucheとMIT Schemeを比較) - nibosiiwasi’s blog
結果だけメモする。
5X5のフィルベルト行列
((1 1 1/2 1/3 1/5) (1 1/2 1/3 1/5 1/8) (1/2 1/3 1/5 1/8 1/13) (1/3 1/5 1/8 1/13 1/21) (1/5 1/8 1/13 1/21 1/34))
その逆行列
((25 600 -7800 -27300 61880) (600 7200 -124800 -393120 928200) (-7800 -124800 1946880 6388200 -14851200) (-27300 -393120 6388200 20638800 -48266400) (61880 928200 -14851200 -48266400 112621600))