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加法定理と余弦定理の導出

暇だったので、勝手に2つ問題を解いてみます。


問題① 三角関数cosとsinの加法定理を導出せよ。
問題② 余弦定理を導出せよ。

(公式を、ど忘れしたときに役立つかもしれません。)


三角関数の加法定理は、
オイラーの公式と指数法則を使えば導出できます。


オイラーの公式: e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta



\begin{eqnarray}
&&\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2)\\
&=&
e^{i (\theta_1 + \theta_2)} \\
&=& e^{i\theta_1} e^{i\theta_2} \\
&=&(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2) \\
&=&(\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2)+i(\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos\theta_1 \sin \theta_2)
\end{eqnarray}

したがって

\cos (\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2

\sin (\theta_1 + \theta_2) = \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos\theta_1 \sin \theta_2

tanの加法定理はこの2式から導出できます。


注1:オイラーの公式、高校数学の学習範囲を越えてるから、受験生は答案に書いちゃだめなんですよね。たぶん。

注2:あと、「eのべき乗を定義して、それが指数法則を満たすことを証明せよ。」とか言われると、私も手がブルブル震えだします。m(__)m




余弦定理は、
ベクトルのノルム(距離)と
内積の性質を使えば導出できます。

三角形ABCが与えられたとする。(図を省略します)


\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC} =\vec{AC}-\vec{AB}

\begin{eqnarray}
 |\vec{BC}|^2
&=& |\vec{AC}-\vec{AB}|^2 \\
&=& (\vec{AC}-\vec{AB})\cdot (\vec{AC}-\vec{AB}) \\
&=& |\vec{AC}|^2 - 2\vec{AB}\cdot \vec{AC} +|\vec{AB}|^2 \\
&=& |\vec{AC}|^2 +|\vec{AB}|^2  - 2 |\vec{AB}||\vec{AC}| \cos \angle {BAC}
\end{eqnarray}

こっちの導出は、高校の学習範囲内だと思います。
(後から確認したらWikipediaにも載ってました。)


日常生活で使わないですね。m(__)m

(数学も怪しげですが)俺にとっては、やはりプログラミングの方が難しいです。